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math formula: \( \{\rho_\lambda : Gal_K \to GL_n(E_\lambda)\}_\lambda \)

\( p \)-adische Hodge-Theorie gibt Werkzeuge an die Hand, um zu untersuchen, wann sich kohomologische Eigenschaften von Varietäten über den komplexen Zahlen auf diejenigen über \( p \)-adischen Körpern ausdehnen. Die Arithmetik abelscher Varietäten verbindet die rationalen Lösungen (Mordell-Weil-Gruppe) mit ihrer Hasse-Weil-\( L \)-Funktion, wie es in der (verallgemeinerten) Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung zum Ausdruck kommt, die wiederum ein Sonderfall der Tamagawa-Zahl-Vermutung ist. Eine Möglichkeit, diese Phänomene über einen ganzen Turm von Zahlenkörpern gleichzeitig zu untersuchen, stellt die Iwasawa-Theorie samt ihren \( p \)-adische \( L \)-Funktionen dar - eine wichtige Forschungsrichtung nicht zuletzt im Hinblick auf äquivariante, möglicherweise nichtkommutative Aspekte.